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Extensões de quebra-cabeça quadrada



Você consegue, sem dificuldades, entender o desenho de uma casa, um carro ou de um objeto simples à sua volta?

Você sabe desenhar, reconhecer o desenho e calcular o volume de um balãozinho como um daqueles usados para enfeitar perguntas de coragem e verdade juninas?

Se você consegue fazer isso é um privilegiado, pois a maioria das pessoas apresenta alguma dificuldade para desenhar e interpretar desenhos, ou até mesmo para reconhecer perfeitamente esboços dos objetos mais comuns do nosso cotidiano.

Sabia que até mesmo alguns professores de matemática apresentam dificuldades no cálculo de volumes dos sólidos geométricos mais simples, por não conseguirem interpretar corretamente os desenhos?

Aqui você terá algumas tarefas desenvolvidas no Laboratório de Ensino de Geometria da UFF (LEG).

As tarefas lançam mão de luzes e sombras sobre objetos em movimento. Elas o ajudarão a compreender desenhos e talvez o levem até a desenhar melhor.

Extensões de quebra-cabeça quadrada Essas tarefas baseiam-se na construção e observação de dois tipos de modelos de poliedros: o tipo esqueleto de arestas, construído com canudos plásticos amarrados com linha, e o tipo casca, que modela o poliedro representando as suas faces, construído com papelão, acetato ou outro material de baixo custo.

SUMÁRIO





I - APRESENTANDO AS Jogo de colorir para animais de estimação    
As atividades a seguir com modelos de poliedros permitem reconhecer vários elementos geométricos que influenciam no cálculo do volume dos sólidos mais simples e envolvem diversas formas de sólidos equivalentes, ou seja, sólidos que têm volumes Extensões de quebra-cabeça quadrada, mas que apresentam formas geométricas diferentes.

Nas atividades, o esqueleto das arestas de um tetraedro regular é decomposto em outros esqueletos de poliedros menores. Essa decomposição é representada em três aparelhos do tipo móbile,sendo que, cada um deles apresenta as partes em que o tetraedro é Tráfego executado on-line por meio de cortes planos. Além disso, cada etapa do móbile pode ser reproduzida por meio de peças como em um jogo do tipo quebra-cabeça, representando modelos do tipo casca dos poliedros obtidos da decomposição.

A construção detalhada de todos os cincos modelos dos esqueletos das arestas dos poliedros regulares de Platão é apresentada pela professora Ana Maria Kaleff em Poliedros de Platão e seus duais.



Móbiles no Museu Interativo do LEG


II - POR QUE SE UTILIZAR MÓBILES?    
MOTIVAÇÃO HISTÓRICA PARA A UTILIZAÇÃO DE MÓBILES

Albrecht Dürer - 1525

Os Primórdios da Perspectiva
“Arte da Medição e da Perspectiva”

A utilização de móbiles para ajudar a entender desenhos  e a calcular volumes de poliedros foi inspirada na obra “Arte da Medição e da Perspectiva”, na qual o artista alemão Albrecht Dürer (1471-1538) apresenta xilogravuras, realizadas por volta de 1525, as quais são consideradas “Ilustrações para um tratado sobre Extensões de quebra-cabeça quadrada arte da medida” (KURTH, 1946).

Nessas gravuras, o artista apresenta diversas situações que ilustram como criar uma representação de um objeto em um desenho em perspectiva.

Dentre estas obras encontram-se ilustrações que representam um homem no ato de desenhar objetos, inclusive retratos, fazendo uso da projeção de um foco de luz, originado de uma fonte pontual. Nas situações representadas por Dürer, o desenhista é apresentado realizando seus traçados sobre uma tela plana em branco, Extensões de quebra-cabeça quadrada, ou sobre uma superfície plana na qual se encontra desenhada uma rede quadriculada.

As situações representadas pelo grande artista alemão, segundo suas próprias palavras, compõem um método para o traçado de desenhos, o qual “é bom para todos aqueles que desejam fazer um retrato, mas que não podem confiar na sua habilidade” (KURTH, p. 41, 1946).


Obras de Dürer no Museu Interativo do LEG

A coleção completa das obras de Dürer, nas quais o artista capta o jogo entre luz e sombras, pode ser vista em Bildertafel - Albrecht Dürer.

Dentre essas obras, encontra-se a desenhada em 1525, chamada de  Der Zeichner der Laute(O Desenhista da Viola). A técnica utilizada é a do Jogos modificados de sombra projetada sobre tela, a qual serviu de inspiração para a criação dos móbiles e do uso do foco de luz sobre os esqueletos dos poliedros, como recursos didáticos para se obter sombras e se entender as suas representações planas.

Ao se movimentar um móbile, as suas sombras também se movem e modificam. Esses movimentos permitem que o observador perceba mudanças nas formas das sombras das arestas de cada poliedro. Essas modificações levam a concluir, que um mesmo objeto pode ser projetado e, portanto, representado no plano de várias maneiras.

Referência
KURTH, W, Extensões de quebra-cabeça quadrada. (Ed) The Complete Woodcuts of Albrecht Dürer. New York: Crown. 1946.




III - APRESENTANDO OS MÓBILES    
OS MÓBILES
MÓBILE No1


Representa a desconstrução do esqueleto da estrutura das arestas de um octaedro inscrito em um tetraedro regular.

MÓBILE No2


Representa a desconstrução do esqueleto da estrutura das arestas Jogo de corrida de velocidade tetraedro regular e de seu dual.

MÓBILE No3


Este aparelho descreve as características de regularidade apresentadas nos outros dois móbiles.

Representa a desconstrução dos sólidos obtidos por um corte plano do tetraedro regular em duas partes, as quais, quando reconstruídas, formam o esqueleto da estrutura das arestas do octaedro inscrito no tetraedro.


Fotos do acervo do LEG


IV - APRESENTANDO OS QUEBRA-CABEÇAS    


V - CONSTRUÇÃO DOS MÓBILES    
Os móbiles são construídos com material de abaixo custo: os esqueletos dos poliedros são construídos com canudos rígidos, do tipo utilizado na confecção Extensões de quebra-cabeça quadrada pirulitos.

As hastes de sustentação dos esqueletos dos poliedros são canudos rígidos, do tipo usado para prender balões de ar e empregado na decoração de festas.

Toda as amarrações dos canudos são realizadas com uma linha resistente e um pouco mais Extensões de quebra-cabeça quadrada do que a utilizada para empinar pipas.

Para se fazer o prolongamento de um canudo, introduz-se um palito de madeira entre dois pedaços do canudo, os quais são presos por fita adesiva transparente.

Belas miniaturas dos móbiles podem ser obtidas utilizando-se materiais mais delicados, porém menos resistentes, como canutilhos de vidro empregados nos bordados de tecidos.

Esquemas de Construção dos Esqueletos Elementares

Para a confecção dos móbiles é necessário construir os esqueletos que modelam tetraedros regulares, octaedros regulares e pirâmides de base quadrada, todos apresentando o mesmo comprimento de aresta.

Além desses esqueletos são necessários os de tetraedros irregulares, com uma aresta diferente das dos anteriores, e os de esqueletos representando um poliedro formado por dois tetraedros regulares que ladeiam uma pirâmide de base quadrada.

Ainda devem ser confeccionadas diversas composições desses esqueletos, para que se obtenha as representações de um tetraedro regular com o seu dual e com o octaedro inscrito.

A construção dos dois esqueletos mais elementares pode ser vista a seguir. As demais são semelhantes ou são partes ou composições dessas duas construções.

Esqueleto do tetraedro regular

Esqueleto do octaedro regular

Clique aqui para baixar o arquivo PDF com o esquema para a construção e impressão.



VI - CONSTRUÇÃO DOS QUEBRA-CABEÇAS    

As peças que compõem os quebra-cabeças, podem ser construídas com papel-cartão ou acetato rígido, revestido por um filme plástico adesivo. Para se obter peças mais resistentes usa-se papelão do tipo paraná e fita adesiva.

Uma peça em papel-cartão ou acetato é obtida recortando-se a sua planificação para montagem a partir do seu desenho sobre o material escolhido e colando-se as suas “abas”, ou seja, partes que excedem a extensão de uma face da planificação. Monta-se a forma geométrica espacial, revestindo-a com uma planificação recortada no plástico adesivo.

As faces das peças em papelão paraná devem ser recortadas diretamente das planificações dos lendas do futebol e coladas por meio de fita adesiva.

Seguem-se os desenhos das planificações para montagem dos modelos tipo casca dos poliedros.


VII - COMO OBTER SOMBRAS A PARTIR DOS MÓBILES   


Os Móbiles e suas Sombras

Indo do Espaço 3D para o Plano 2D

Para poder realizar tarefas de uma maneira parecida com as desenhadas por Albrecht Dürer, Extensões de quebra-cabeça quadrada, é necessário se ter um bom foco de luz.

Uma lâmpada incandescente de uso normal já é suficiente, mas o ideal é a luz emitida por uma lâmpada advinda de um aparelho retroprojetor ou Extensões de quebra-cabeça quadrada um projetor de slides.

Com o uso da lâmpada, parte-se do princípio de que o foco de luz “desenha” sobre uma tela plana as sombras dos modelos de sólidos do tipo esqueleto, ou seja, da estrutura das arestas do sólido, Extensões de quebra-cabeça quadrada. A tela pode ser uma simples parede plana de cor clara.

A sombra, Extensões de quebra-cabeça quadrada, advinda da projeção dos raios da luz sobre as estruturas do esqueleto das arestas do modelo do poliedro, é representada como se fosse um desenho no plano. Desta maneira, as sombras permitem obter uma Extensões de quebra-cabeça quadrada de cada parte do modelo concreto sobre uma superfície plana bidimensional.

Esta estratégia possibilita com que se tenha uma maneira de passar da representação de um modelo concreto tridimensional espacial (o esqueleto) para uma representação plana, Extensões de quebra-cabeça quadrada, a qual muito se assemelha com aquelas desenhadas na forma de desenhos em perspectiva.

Por outro lado, é importante que cada etapa do móbile seja também modelada com as peças dos quebra-cabeças, pois estas modelam as cascas dos sólidos, representando de uma maneira mais aproximada daquelas formas 3D encontradas na natureza e no mundo a nossa volta.




Fotos do acervo Extensões de quebra-cabeça quadrada LEG


VIII - QUESTIONÁRIO ENVOLVENDO OS MÓBILES E QUEBRA-CABEÇAS    
Questionário de Desafios

Veja um questionário interessante que utiliza conhecimentos advindos dessas atividades.

Clique no botão central para baixar o arquivo para impressão.

            
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